Question

6．（Ⅰ）求平行于直線x-2y+1=0，且與它的距離為2$\sqrt{5}$的直線方程；
（Ⅱ）求經(jīng)過兩直線l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交點P，且與直線l₃：2x+3y+1=0垂直的直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線平行和平行線的距離求出滿足條件的直線方程即可；
（Ⅱ）法一：根據(jù)方程組求出P的坐標(biāo)，結(jié)合直線垂直的關(guān)系求出滿足條件的直線方程即可；
法二：根據(jù)直線平行，設(shè)直線l的方程為x-2y+4+λ（x+y-2）=0，根據(jù)直線的垂直關(guān)系求出直線的斜率，求出參數(shù)的值，從而求出直線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）　設(shè)與直線x-2y+1=0平行的直線方程為x-2y+c=0，--------（1分）
在直線x-2y+1=0上任取一點P（1，1），
依題意P到直線x-2y+c=0的距離為$\frac{{|{1-2+c}|}}{{\sqrt{1+4}}}=2\sqrt{5}$，解得：c=11或c=-9-------------------------------（4分）
所求直線方程為：x-2y+11=0或x-2y-9=0-----------------------（5分）
（Ⅱ）法一：由方程組$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ x+y-2=0\end{array}$，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}$，------------------（7分）
即P（0，2）．l₃：2x+3y+1=0的斜率為${k_3}=-\frac{2}{3}$
∵l⊥l₃，∴$k=\frac{3}{2}$，--------------------------（10分）（l₃斜率（1分），k₃k=-（11分），結(jié)論1分）
∴直線l的方程為$y-2=\frac{3}{2}x$，
即l：3x-2y+4=0．----------------------------------------------------------（12分）（不整理不扣分）
法二：∵直線l過直線l₁和l₂的交點，
∴可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+λ（x+y-2）=0，
即（1+λ）x+（λ-2）y+4-2λ=0．l₃：2x+3y+1=0的斜率為${k_3}=-\frac{2}{3}$
∵l⊥l₃，∴$k=\frac{3}{2}$，
∴3（λ-2）+2（λ+1）=0，
∴λ=$\frac{4}{5}$，
∴直線l的方程為3x-2y+4=0，（對照解法一相應(yīng)給分）

點評 本題考查了求直線方程問題，考查直線的平行和垂直關(guān)系，考查平行線間的距離，是一道中檔題．