1.如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=BC,AD的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)P.
(1)求證:$\frac{BC}{BP}$=$\frac{DC}{DP}$;
(2)求證:∠BDC+$\frac{1}{2}∠PDC={90°}$.

分析 (1)利用“兩角法”推知△ABP∽△CDP,在根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例和已知條件AB=BC證得結(jié)論;
(2)連接BD,AC,根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)推知∠BDC=∠BDA,所以∠ADC=2∠BDC.根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義推知∠PDC+∠ADC=180°,易證$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$.

解答 證明:(1)因?yàn)椤螾DC=∠PBA,∠APB=∠CPD,
所以△ABP∽△CDP,
所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$.
又AB=BC,
所以$\frac{BC}{BP}=\frac{DC}{DP}$.
(2)連接BD,AC,
因?yàn)锳B=BC,
所以∠BAC=∠BCA,
又∠BAC=∠BDC,∠BCA=∠BDA,
所以∠BDC=∠BDA,
所以∠ADC=2∠BDC.
因?yàn)椤螾DC+∠ADC=180°,
所以$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$.

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì).考查學(xué)生們的分析能力,屬于基礎(chǔ)題型.

練習(xí)冊系列答案
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