精英家教網(wǎng)(1)已知平面上兩定點A(-2,0).B(2,0),且動點M標滿足
MA
MB
=0,求動點M的軌跡方程;
(2)若把(1)的M的軌跡圖象向右平移一個單位,再向下平移一個單位,恰與直線x+ky-3=0 相切,試求實數(shù)k的值;
(3)如圖,l是經(jīng)過橢圓
y2
25
+
x2
16
=1
長軸頂點A且與長軸垂直的直線,E.F是兩個焦點,點P∈l,P不與A重合.若∠EPF=α,求α的取值范圍.
并將此題類比到雙曲線:
y2
25
-
x2
16
=1
,l是經(jīng)過焦點F且與實軸垂直的直線,A、B是兩個頂點,點P∈l,P不與F重合,請作出其圖象.若∠APB=α,寫出角α的取值范圍.(不需要解題過程)
分析:(1)設點M為(x,y)代入題目中的條件
MA
MB
=0可得x2+y2=4即得到點M的軌跡方程.
(2)由題意得得到新的圓的方程(x-1)2+(y+1)2=4,由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或k=
4
3

(3)(。┯深}得α=∠EPA-∠FPA,所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA),可得0<tanα≤
3
4
即0<α≤arctan
3
4

(ⅱ)類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質(zhì)0<α≤arctan
5
4
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設M(x,y),由
MA
MB
=0得x2+y2=4
,此即點M的軌跡方程.
(2)將x2+y2=4向右平移一個單位,再向下平移一個單位后,
得到圓(x-1)2+(y+1)2=4
依題意有
|k+2|
k2+1
=2
,得k=0或k=
4
3

(3)(。┳C明:不妨設點P在A的右側(cè),并設P(t,-5)(t>0),
tan∠EPA=
8
t
,tan∠FPA=
2
t

所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=
8
t
-
2
t
1+
16
t2
=
6
t+
16
t
3
4

所以0<tanα≤
3
4
.顯然α為銳角,即:0<α≤arctan
3
4

(ⅱ)如圖.(圖形中沒有體現(xiàn)出雙曲線的漸近性的,扣1分)0<α≤arctan
5
4
點評:解決此類問題的關鍵是把向量條件坐標化,熟練掌握直線與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知平面上兩個定點M
(0,-2)
N
(0,2)
,P為一個動點,且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個不同動點
AN
NB
.分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設其交點為Q,證明
NQ
AB
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是 k1,k2k1k2=-
1
4

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)設直線l:y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M,N.
①若OM⊥ON(O為坐標原點),證明點O到直線l的距離為定值,并求出這個定值
②若直線BM,BN的斜率都存在并滿足kBMkBN=-
1
4
,證明直線l過定點,并求出這個定點.

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年北京市東城區(qū)高考數(shù)學一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知平面上兩個定點,P為一個動點,且滿足
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個不同動點.分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設其交點為Q,證明為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源:東城區(qū)一模 題型:解答題

已知平面上兩個定點M
(0,-2)
N
(0,2)
,P為一個動點,且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個不同動點
AN
NB
.分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設其交點為Q,證明
NQ
AB
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知平面上兩定點M(0,-2),N(0,2),P為一動點,滿足。

(1)求動點P的軌跡C的方程;

(2)若A、B是軌跡C上的兩個不同動點,且,分別以A、B為切點作軌跡C的切線,設其交點為Q。證明:為定值。

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