4.設(shè)x,y,z均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)$\frac{x}{z}$+$\frac{x}{y}$,$\frac{y}{x}$+$\frac{y}{z}$,$\frac{z}{x}$+$\frac{z}{y}$( 。
A.都大于2B.都小于2
C.至多有一個(gè)小于2D.至少有一個(gè)不小于2

分析 根據(jù)x,y,z均為正實(shí)數(shù),由基本不等式即可得出$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}≥6$,這樣顯然可得出三個(gè)數(shù)$\frac{x}{z}+\frac{x}{y},\frac{y}{x}+\frac{y}{z},\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$至少有一個(gè)不小于2.

解答 解:∵$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$$+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})≥2+2+2=6$;
∴$\frac{x}{z}+\frac{x}{y},\frac{y}{x}+\frac{y}{z},\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$中至少有一個(gè)不小于2.
故選D.

點(diǎn)評 考查基本不等式:$a+b≥2\sqrt{ab}$,a,b∈R*,注意等號成立的條件.

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