Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（I）設(shè)向量

m

=(a，b)，

n

=(b-2，a-2)，若

m

⊥

n

，求△ABC的面積；
（Ⅱ）若

sinA

cosB

＞

3

，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由向量垂直滿(mǎn)足的條件，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

m

•

n

=0，得到一個(gè)關(guān)系式，然后由c和C的值，利用余弦定理表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式，把求出的關(guān)系式代入即可求出ab的值，由ab的值及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（Ⅱ）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用含B的式子表示出A，代入已知的式子中，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，得到tanB的范圍，由B的范圍，利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出B的具體范圍．

解答：解：（I）由題意可知

m

•

n

=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab．（3分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4（舍去ab=-1），
則S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

；（7分）
（Ⅱ）∵A+B=

2π

3

，
∴

sinA

cosB

=

sin( 2π 3 -B)

cosB

=

sin 2π 3 cosB-cos 2π 3 sinB

cosB

=

3

2

+

1

2

tanB＞

3

即tanB＞

3

，
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

3

＜B＜

π

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿(mǎn)足的條件，靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道中檔題．