Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1，且對于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β）．
（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）若f（2x）-f（2-x）≥-1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）解f（1）；
（Ⅱ）由f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1可化簡不等式為f（x）≥f（2-x），從而利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0．
（Ⅱ）∵f（2x）-f（2-x）≥-1，
∴f（2x）+f（

1

2

）≥f（2-x），
∴f（x）≥f（2-x），
又∵對于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β），
∴

2x＞0 2-x＞0 x≤2-x

，
解得，0＜x≤1，
∴x的取值范圍為（0，1]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生對新知識的接受能力，屬于中檔題．