Question

已知F為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，a≠b）的右焦點，過F點的直線l與一條漸近線l₁垂直于點M，交另一條漸近線l₂于N點．
（1）求M、N兩點的坐標；
（2）求證：當且僅當b²=2a²時，線段MN的中點在雙曲線的左準線x=-

a2

c

上．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，設出直線l的方程，聯(lián)立漸近線方程，即可求得交點M，N的坐標；
（2）從兩個方面證明，先由當b²=2a²時，運用中點坐標公式可得中點在左準線上，再由中點在左準線上，證得b²=2a²．

解答： （1）解：設F（c，0），一條漸近線l₁為y=

b

a

x，另一條漸近線l₂為y=-

b

a

x，
則由兩直線垂直的條件可得l：y=-

a

b

（x-c），
由y=-

a

b

（x-c）和y=

b

a

x，可得M（

a2

c

，

ab

c

），
再由y=-

a

b

（x-c）和y=-

b

a

x，可得N（

ca2

a2-b2

，-

abc

a2-b2

）；
（2）證明：當b²=2a²時，線段MN的中點的橫坐標為

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=

1

2

（

a2

c

-c）
=-

c2-a2

2c

=-

b2

2c

=-

a2

c

，即為雙曲線的左準線，
若線段MN的中點在雙曲線的左準線x=-

a2

c

上，即有

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=-

a2

c

，
則有c²=3（b²-a²），即a²+b²=3b²-3a²，即有b²=2a²．
故有當且僅當b²=2a²時，線段MN的中點在雙曲線的左準線x=-

a2

c

上．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查兩直線垂直的條件，考查中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．