Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b，且方程f（x）=17有兩個實根-2，4
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若關于x的不等式f（x）≤λx在區(qū)間[2，4]上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-2，4是x²+ax+b-17=0的兩根，運用韋達定理，可得a，b，進而得到f（x）的解析式；
（2）運用參數(shù)分離可得λ≥x+$\frac{9}{x}$-2在[2，4]的最大值，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值，即可得到所求實數(shù)的范圍．

解答 解：（1）方程f（x）=17有兩個實根-2，4，
即為-2，4是x²+ax+b-17=0的兩根，
可得-2+4=-a，-2×4=b-17，
解得a=-2，b=9，
則f（x）=x²-2x+9；
（2）若關于x的不等式f（x）≤λx在區(qū)間[2，4]上恒成立，
即為λ≥$\frac{{x}^{2}-2x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-2在[2，4]的最大值，
由y=x+$\frac{9}{x}$-2在[2，3]遞減，在[3，4]遞增，
可得y_min=3+3-2=4，x=2時，y=$\frac{9}{2}$；x=4時，y=$\frac{17}{4}$．
即有y的最大值為$\frac{9}{2}$．
則λ的取值范圍是[$\frac{9}{2}$，+∞）．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用韋達定理，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性解決，考查運算能力，屬于中檔題．