“5•12”汶川大地震中,受災(zāi)面積大,傷亡慘重,醫(yī)療隊(duì)到達(dá)后,都會選擇一個(gè)合理的位置,使傷員能在最短的時(shí)間內(nèi)得到救治.設(shè)有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),分別位于一個(gè)矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,AB=10km,BC=5km,現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)醫(yī)療站,記O點(diǎn)到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為y.
(1)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示為θ的函數(shù);
(2)試?yán)茫?)的函數(shù)關(guān)系式確定醫(yī)療站的位置,使三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到醫(yī)療站的距離之和最短.

解:(1):延長PO,交AB于Q,由條件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
,故 ,又OP=5-5tanθ,
所以 y=OA+OB+OP=;
(2),令y′=0得sin ,因?yàn)?,所以θ=,當(dāng) 時(shí),y′<0,y是θ的減函數(shù);當(dāng) 時(shí),y′>0,y是θ的增函數(shù),所以當(dāng)θ=時(shí),.這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上,在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊 km處.
分析:(1)根據(jù)題意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP,從而得出y的函數(shù)關(guān)系式,注意最后要化為最簡形式,確定自變量范圍.
(2)欲確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題,(1)中已求出函數(shù)關(guān)系式,故可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值,注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.
①生活中的優(yōu)化問題,往往涉及到函數(shù)的最值,求最值可利用單調(diào)性,也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值,要掌握求最值的方法和技巧.
②在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí),一般先設(shè)自變量、因變量,建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí),如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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“5•12”汶川大地震中,受災(zāi)面積大,傷亡慘重,醫(yī)療隊(duì)到達(dá)后,都會選擇一個(gè)合理的位置,使傷員能在最短的時(shí)間內(nèi)得到救治.設(shè)有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),分別位于一個(gè)矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,AB=10km,BC=5km,現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)醫(yī)療站,記O點(diǎn)到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為y.
(1)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示為θ的函數(shù);
(2)試?yán)茫?)的函數(shù)關(guān)系式確定醫(yī)療站的位置,使三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到醫(yī)療站的距離之和最短.

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