如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．
分析：（1）設(shè)正方形的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，由條件證明MF和CO平行且相等，四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，再由直線和平面平行的判定定理證得 CM∥平面DFB．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)C、點(diǎn)A、點(diǎn)E、，點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得
AM
和
DE
 的坐標(biāo)，以及|
AM
|、|
DE
|和
AM
•
DE
 的值．再利用兩個(gè)向量的夾角公式求得
AM
、
DE
的夾角θ 的余弦值，再取絕對(duì)值，即得所求．
解答：解：（1）設(shè)正方形的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，ACEF為矩形，故MF和CO平行且相等，
故四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB內(nèi)，∴CM∥平面DFB．
（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C（0，0），點(diǎn)A（
2
，
2
，0），點(diǎn)E（0，0，1），
點(diǎn)D（
2
，0，0），點(diǎn)M（
2
2
，
2
2
，1），
∴
AM
=（-
2
2
，-
2
2
，1），
DE
=（-
2
，0，1），|
AM
|=
2
，|
DE
|=
3
，
AM
•
DE
=1+0+1=2．
設(shè)
AM
、
DE
的夾角為θ，cosθ=
AM
•
DE
|AM
|•|
DE
|
=
2
2
•
3
=
6
3
，故異面直線AM與DE所成的角的余弦值為
6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求異面直線所成的角的余弦值，兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為
6
3
，求AC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA的延長(zhǎng)線于P1，然后以B為圓心，BP1長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CB的延長(zhǎng)線于P2，再以C為圓心，CP2長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交DC的延長(zhǎng)線于P3，再以D為圓心，DP3長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD的延長(zhǎng)線于P4，再以A為圓心，AP4長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，…，如此繼續(xù)下去，畫(huà)出的第8道弧的半徑是
8
8
，畫(huà)出第n道弧時(shí)，這n道弧的弧長(zhǎng)之和為
n(n+1)π
4
n(n+1)π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

求證：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆黑龍江省哈爾濱市高二下期中考試文數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。

（1）證明：∥平面

（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

 

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