【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）時, 有恒成立, 求整數(shù)最小值.

【答案】（1） 上遞增，在遞減；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由函數(shù)零點對定義域分段，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，由，得，分離參數(shù)，得在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，兩次求導(dǎo)可得.由此求得整數(shù)的最小值為.

試題解析：（1）定義域為,時, 在

上單調(diào)遞減；時, 令 , 得(舍去負(fù)的). 上遞增,

在遞減.

（2）時,,

在上恒成立, 令,則.

令在遞減, 且時, , 時, ,因此在必存在唯一零點, 不妨設(shè),即,

當(dāng)時, 單調(diào)遞增；當(dāng)時, 單調(diào)遞減；因此,

,即,依題意有,

即整數(shù)的最小值為.

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【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交于兩點（兩點均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．

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【題目】公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測試，錄用了名男生和名女生，這名畢業(yè)生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），公司規(guī)定：成績在分以上者到甲部門工作；分以下者到乙部門工作，另外只有成績高于分才能擔(dān)任助理工作。

（1）如果用分層抽樣的方法從甲部門人選和乙部門人選中選取人，再從這人中選人，那么至少有一人是甲部門人選的概率是多少？

（2）若從所有甲部門人選中隨機選人，用表示所選人員中能擔(dān)任助理工作的男生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望.

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【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.

（1）求的值及的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用達(dá)到最小，并求最小值.

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【題目】已知圓內(nèi)有一點為過點且傾斜角為的弦．

（1）當(dāng)時，求弦的長；

（2）當(dāng)弦被平分時，圓經(jīng)過點且與直線相切于點，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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【題目】已知數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．

（Ⅰ）分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

（Ⅱ）令cn= an bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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【題目】隨機詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下列聯(lián)表：

性別與讀營養(yǎng)說明列聯(lián)表：

男

女

總計

讀營養(yǎng)說明

16

8

24

不讀營養(yǎng)說明

4

12

16

總計

20

20

40

（Ⅰ）根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系？

（Ⅱ）從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

（注：，其中為樣本容量．）

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：在定義域上為減函數(shù)；

（2）若時，討論函數(shù)的零點情況.

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【題目】已知數(shù)列的前項和為，，是6與的等差中項.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

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