已知{an}是遞增數(shù)列,其前n項和為Sn,a1>1,且10Sn=(2an+1)(an+2),n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項an;
(Ⅱ)是否存在m,n,k∈N*,使得2(am+an)=ak成立?若存在,寫出一組符合條件的m,n,k的值;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)bn=an-
n-3
2
,cn=
2(n+3)an
5n-1
,若對于任意的n∈N*,不等式
5
m
31(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
cn+1+n-1
≤0恒成立,求正整數(shù)m的最大值.
分析:(Ⅰ)令n=1代入10Sn=(2an+1)(an+2),求得a1的值,根據(jù)an=
s1    n=1
sn-sn-1 n≥2
,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,可以求得數(shù)列{an}的通項an;
(Ⅱ)假設(shè)存在m,n,k∈N*,使得2(am+an)=ak成立,代入數(shù)列{an}的通項an,經(jīng)過分析得出矛盾,可以得到不存在m,n,k∈N*,使得2(am+an)=ak成立,
(Ⅲ)把數(shù)列{an}的通項an代入bn=an-
n-3
2
,cn=
2(n+3)an
5n-1
,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求某個數(shù)列的最值問題.
解答:解:(Ⅰ)∵10Sn=(2an+1)(an+3),
∴10a1=(2a1+1)(a1+2),得2a12-5a1+2=0,
解得a1=2,或a1=
1
2

由于a1>1,所以a1=2.
∵10Sn=(2an+1)(an+3),∴10Sn=2an2+5an+2.
故10an+1=10Sn+1-10Sn=2an+12+5an+1+2-2an2-5an-2,
整理,得2(an+12-an2)-5(an+1+an)=0,
即(an+1+an)[2(an+1-an)-5]=0.
因為{an}是遞增數(shù)列,且a1=2,故an+1+an≠0,
因此an+1-an=
5
2

則數(shù)列{an}是以2為首項,
5
2
為公差的等差數(shù)列.
所以an=2+
5
2
(n-1)=
1
2
(5n-1)


(Ⅱ)滿足條件的正整數(shù)m,n,k不存在,證明如下:
假設(shè)存在m,n,k∈N*,使得2(am+an)=at
則5m-1+5n-1=
1
2
(5k-1).
整理,得2m+2n-k=
3
5
,①
顯然,左邊為整數(shù),所以①式不成立.
故滿足條件的正整數(shù)m,n,k不存在.

(Ⅲ)bn=an-
n-3
2
=
1
2
(5n-1)-
n-3
2
=2n+1
,
cn=
2(n+3)an
5n-1
=
2(n+3)
5n-1
5n-1
2
=n+3

不等式
5
m
31(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
cn+1+n-1
≤0
可轉(zhuǎn)化為
5
m
31
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
cn+1+n-1

=
b1+1
b1
b2+1
b2
b3+1
b3
bn+1
bn
1
cn+1+n-1

=
4
3
6
5
8
7
2n+2
2n+1
1
2n+3

設(shè)f(n)=
4
3
6
5
8
7
2n+2
2n+1
1
2n+3
,
f(n+1)
f(n)
=
4
3
6
5
8
7
2n+2
2n+1
2n+4
2n+3
-
1
2n+35
4
3
6
5
8
7
2n+2
2n+1
1
2n+3

=
2n+4
2n+3
2n+3
2n+5
=
2n+4
(2n+3)(2n+5)

=
2n+4
4n2+16n+15
2n+4
4n2+16n+16
=
2n+4
(2n+4)2
=
2n+4
2n+4
=1

所以f(n+1)>f(n),即當n增大時,f(n)也增大.
要使不等式
5
m
31(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
cn+1+n-1
≤0

對于任意的n∈N*恒成立,只需
5
m
31
≤f(n)min即可.
因為f(b)min=f(1)=
4
3
1
5
=
4
5
15
,所以
5
m
31
4
5
15
,
即m≤
4×31
15
=
124
15
=8
4
15

所以,正整數(shù)m的最大值為8.
點評:此題是個難題.考查根據(jù)an=
s1    n=1
sn-sn-1 n≥2
求數(shù)列通項公式,體現(xiàn)了分類討論的思想.特別是(2)是個開放性的題目,解決策略一般假設(shè)存在,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證得到矛盾,(3)的設(shè)置,增加了題目的難度,對于恒成立問題,一般采取分離參數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化為求最值問題,體現(xiàn) 轉(zhuǎn)化的思想.并根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項和Sn=
n2
•a
;
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說明理由.

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如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列bn的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,求證:數(shù)列bn是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:四川省成都市龍泉中學2010屆高三第五次調(diào)研考試數(shù)學文科試題 題型:022

有以下幾個命題

①一個容量為n的樣本,分成若干組,已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40和0.125,則n的值為320;

②設(shè)A、B為兩個定點,m(m>0)為常數(shù),,則動點P的軌跡為橢圓;

③若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且an=n2+λn+1(n≥2,n∈N*),則實數(shù)λ的取值范圍是(-5,+∞);

④若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,P是該橢圓上的任意一點,則點F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線對稱的點M的軌跡是圓.

其中真命題的序號為________;(寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年福建省廈門市思明區(qū)科技中學高二(上)期中數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項和;
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n(n≥3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說明理由.

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(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項和;
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n(n≥3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說明理由.

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