Question

有A、B、C、D、E五支足球隊參加某足球邀請賽，比賽采用單循環(huán)制（每兩隊都要比賽一場），每場比賽勝隊得3分，負隊得0分；若為平局則雙方各得1分．已知任何一個隊打勝、打平或被打敗的概率都是

1

3

．
（1）求打完全部比賽A隊取得3分的概率；
（2）求打完全部比賽A隊勝的次數(shù)多于負的次數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）由比賽規(guī)則知，打完比賽，A隊取得3分的情況有二：“A隊平三場，負一場”、“A隊贏一場，負三場”，由公式求出此兩事件的概率和即可；
（2）事件“打完全部比賽A隊勝的次數(shù)多于負的次數(shù)”包括事件“A隊勝一場，平三場”，“A隊勝兩場，負一場，平一場”，“A隊勝三場，另一場負或平”，“A隊勝四場”分別求出這四個事件的概率，再求出它們的和即可得到事件“打完全部比賽A隊勝的次數(shù)多于負的次數(shù)”的概率．

解答：解：（1）由題意，A隊取得3分的情況有二：“A隊平三場，負一場”、“A隊贏一場，負三場”，故其概率為

C

1 4

1

3

×(

1

3

)3+

C

3 4

(

1

3

)3

1

3

=

8

81

（2）由于事件“打完全部比賽A隊勝的次數(shù)多于負的次數(shù)”包括事件“A隊勝一場，平三場”，“A隊勝兩場，負一場，平一場”，“A隊勝三場，另一場負或平”，“A隊勝四場”，先分別求各個事件的概率：
A勝1場，另3場平  

C

1 4

1

3

(

1

3

)3；
A勝2場，另2場一負一平或兩平 

C

2 4

(

1

3

)2[

C

1 2

1

3

×

1

3

+(

1

3

)2]； 
A勝3場，另一場為負或平

C

3 4

(

1

3

)3(

1

3

+

1

3

)；
A勝4場 (

1

3

)4
綜上，事件“打完全部比賽A隊勝的次數(shù)多于負的次數(shù)”概率為

C

1 4

1

3

(

1

3

)3+

C

2 4

(

1

3

)2[

C

1 2

1

3

×

1

3

+(

1

3

)2]+

C

3 4

(

1

3

)3(

1

3

+

1

3

)+(

1

3

)4=

31

81

點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，解題的關鍵是正確理解所研究的事件，分清事件的類型，確定求其概率的模型，熟練掌握各類概率模型的求法公式對求解本題也很關鍵，本題考查了分類討論的思想