【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)( ,1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由題意,以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,
所以 b=c,a2=2b2,則橢圓C的方程為 .
又因?yàn)闄E圓C:過(guò)點(diǎn)A( ,1),
所以 ,
故a=2,b=.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)解: |MP|2=(x﹣p)2+y2.
因?yàn)?M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),
所以 ,
故 .
所以 .
因?yàn)镸(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),
所以|x|≤2.
①若|2p|≤2,即|p|≤1,
則當(dāng)x=2p 時(shí),|MP|取最小值 ,
此時(shí)M .
②若p>1,則當(dāng)x=2 時(shí),|MP|取最小值|p﹣2|,此時(shí)M(2,0).
③若p<﹣1,則當(dāng)x=﹣2 時(shí),|MP|取最小值|p+2|,此時(shí)M(﹣2,0)
【解析】(1)由已知中以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.且橢圓C過(guò)點(diǎn)( ,1),可得:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求出|MP|的表達(dá)式,分類討論,可得|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a(a>0),其前n項(xiàng)和為Sn , 設(shè)bn=an+an+1(n∈N*).
(1)若a2=a+1,a3=2a2 , 且數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列,求S2n;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 滿足Tn=n2 .
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
②若對(duì)n∈N*,且n≥2,不等式(an﹣1)(an+1-1)≥2(1﹣n)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)解關(guān)于的不等式;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且 成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求B的值;
(Ⅱ)求的范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查“五一”小長(zhǎng)假出游選擇“有水的地方”是否與性別有關(guān),現(xiàn)從該市“五一”出游旅客中隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:(單位:人)
選擇“有水的地方” | 不選擇“有水的地方” | 合計(jì) | |
男 | 90 | 110 | 200 |
女 | 210 | 90 | 300 |
合計(jì) | 300 | 200 | 500 |
(Ⅰ)據(jù)此樣本,有多大的把握認(rèn)為選擇“有水的地方”與性別有關(guān);
(Ⅱ)若以樣本中各事件的頻率作為概率估計(jì)全市“五一”所有出游旅客情況,現(xiàn)從該市的全體出游旅客(人數(shù)眾多)中隨機(jī)抽取3人,設(shè)3人中選擇“有水的地方”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.
附臨界值表及參考公式:
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95)由此得到頻率分布直方圖如圖.則產(chǎn)品數(shù)量位于[55,65)范圍內(nèi)的頻率為;這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】最新公布的《道路交通安全法》和《道路交通安全法實(shí)施條例》對(duì)車速、安全車距以及影響駕駛?cè)朔磻?yīng)快慢等因素均有詳細(xì)規(guī)定,這些規(guī)定說(shuō)到底主要與剎車距離有關(guān),剎車距離是指從駕駛員發(fā)現(xiàn)障礙到制動(dòng)車輛,最后完全停止所行駛的距離,即:剎車距離=反應(yīng)距離+制動(dòng)距離,反應(yīng)距離=反應(yīng)時(shí)間×速率,制動(dòng)距離與速率的平方成正比,某反應(yīng)時(shí)間為的駕駛員以的速率行駛,遇緊急情況,汽車的剎車距離為.
()試將剎車距離表示為速率的函數(shù).
()若該駕駛員駕駛汽車在限速為的公路上行駛,遇緊急情況,汽車的剎車距離為,試問(wèn)該車是否超速?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知邊長(zhǎng)為的正方形與菱形所在平面互相垂直, 為中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若,求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,an=cos (n∈N*)
(1)試將an+1表示為an的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=1﹣ (n∈N*),猜想an與bn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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