已知函數(shù)g(x)=
3
4
-
1
2
sinxcosx-
3
2
sin2
x,將其圖象向左移
π
4
個單位,并向上移
1
2
個單位,得到函數(shù)f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤
π
2
)
的圖象.
(1)求實數(shù)a,b,φ的值;
(2)設函數(shù)φ(x)=g(x)-
3
f(x),x∈[0,
π
2
]
,求函數(shù)φ(x)的單調遞增區(qū)間和最值.
分析:(1)利用二倍角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù),通過函數(shù)的圖象變換,利用變換后的是的表達式,求實數(shù)a,b,φ的值;
(2)求出函數(shù)φ(x)=g(x)-
3
f(x),x∈[0,
π
2
]
的表達式,利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求出函數(shù)的單調增區(qū)間,通過增區(qū)間求解函數(shù)的最值.
解答:解:(1)依題意g(x)=
3
4
-
1
2
sinxcosx-
3
2
sin2
x=
3
4
cos2x-
1
4
sin2x
=
1
2
sin(
π
3
-2x)
,
g(x)=
1
2
sin(
π
3
-2x)
,將其圖象向左移
π
4
個單位,并向上移
1
2
個單位,得:
f(x)=
1
2
sin(
π
3
-2(x+
π
4
))+
1
2
=
1
2
sin(-2x-
π
6
)+
1
2
=
1
2
cos(2x+
3
)+
1
2
=cos2(x+
π
3
)

∵f(x)=acos2(x+φ)+b
∴a=1,b=0
(2)φ(x)=g(x)-
3
f(x)
=
1
2
sin(2x+
3
)-
3
2
cos(2x+
3
)-
3
2

=sin(2x+
π
3
)-
3
2
,
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,
解得:x∈[kπ-
12
,kπ+
π
12
]
,k∈Z
x∈[0,
π
2
]

∴φ(x)的單調增區(qū)間為[0,
π
12
]

當x=
π
12
時,函數(shù)的最大值為:1-
3
2
,
當x=
π
2
時,函數(shù)的最小值為:-
3
,
函數(shù)的值域為:[-
3
,1-
3
2
]
點評:本題考查三角函數(shù)的化簡求值,兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式的應用,正弦函數(shù)的單調性與函數(shù)的最值,考查計算能力.
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已知函數(shù)f(x)=3-|x|,g(x)=x2-4x+3,構造函數(shù)F(x),定義如下:當f(x)≥g(x)時,F(xiàn)(x)=g(x);當f(x)<g(x)時,F(xiàn)(x)=f(x),則F(x)在[-3,3]( 。
A、有最大值3,最小值-1
B、有最大值7-2
7
,無最小值
C、有最大值3,無最小值
D、無最大值,也無最小值

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)求證:函數(shù)f(x)=x+
a
x
是奇函數(shù);
(2)已知函數(shù)g(x)=x+
1
x
在區(qū)間(0,1)上是單調減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上是單調增函數(shù);函數(shù)g(x)=x+
4
x
在區(qū)間(0,2)上是單調減函數(shù),在區(qū)間(2,+∞)上是單調增函數(shù);猜想出函數(shù)g(x)=x+
b2
x
,(b>0),x∈(0,+∞)的單調區(qū)間;
(3)指出函數(shù)h(x)=x+
8
x
,x∈(-∞,0)在什么時候取最大值,最大值是多少.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x
+1,h(x)=
1
x+3
,x∈(-3,a],其中a為常數(shù)且a>0,令函數(shù)f(x)=g(x)•h(x).
(1)求函數(shù)f(x)的表達式,并求其定義域;
(2)當a=
1
4
時,求函數(shù)f(x)的最值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=-x2-3,f(x)為二次函數(shù).當x∈[-1,2]時,f(x)的最小值為1,且f(x)+g(x)是奇函數(shù),求f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
12
mx2-2x+l+ln(x+l)(m≥1).
(1)若曲線C:y=g(x)在點P(0,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點,求m的值;
(2)求證:函數(shù)g(x)存在單凋減區(qū)間[a,b];
(3)若c=b-a,求c的取值范圍.

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