Question

已知空間直角坐標(biāo)系0-xyz中的動點P（x，y，z）滿足：x+

2

y+z=1，則|OP|的最小值等于

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，動點P與原點在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影重合時，|OP|取得最小值．再求經(jīng)過原點與平面x+

2

y+z=1垂直的直線與平面x+

2

y+z=1的交點Q，利用距離公式求出OQ的長，即可得到|OP|取得最小值．

解答：解：∵P（x，y，z）是平面x+

2

y+z=1內(nèi)的點，
∴點P與原點在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影重合時，|OP|取得最小值
過原點與平面x+

2

y+z=1垂直的直線方向向量為

a

=（1，

2

，1）
∴過原點與平面x+

2

y+z=1垂直的直線方程為：

x

1

=

y

2

=

z

1

直線方程與平面方程聯(lián)解，得原點在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影點為Q（

1

4

，

2

4

，

1

4

）
∵|OQ|=

( 1 4 )2+( 2 4 )2+( 1 4 )2

=

1

2

∴動點P與Q重合時，|OP|取得最小值為

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題給出平面上動點，求該點到原點距離的最小值，著重考查了空間兩點的距離和平面垂線的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．