Question

已知向量

b

=(m，sin2x)，

c

=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=

b

•

c

，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和(

π

4

，1)．
（I）求m、n的值；
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，

π

4

]上的最小值；
（III）當(dāng)f(

α

2

)=

1

5

，α∈[0，π]時(shí)，求sinα的值．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出f（x），然后把已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出m和n的值；
（II）把求得的f（x）利用兩角和的正弦函數(shù)公式的逆運(yùn)算及特殊角的三角函數(shù)值化簡為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用T=

2π

λ

求出周期，然后根據(jù)x的范圍得到2x+

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得到sin（2x+

π

4

）的最小值即可得到f（x）的最小值；
（III）由題意知f（

α

2

）=

1

5

，把x=

α

2

代入到f（x）中，得到一個(gè)關(guān)于sinα和cosα關(guān)系式，變形后兩邊平方再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化為關(guān)于sinα的一元二次方程，求出方程的解，根據(jù)α的范圍即可得到滿足題意的sinα值．

解答：解：（I）f（x）=mcos2x+nsin2x，
∵f（0）=1，
∴m=1．∵f(

π

4

)=1，∴n=1．

（II）f(x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期為π．
∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴當(dāng)x=0或x=

π

4

時(shí)，f（x）的最小值為1．

（III）∵f(

a

2

)=

1

5

，∴cosα+sinα=

1

5

，∴cosα=

1

5

-sinα．
兩邊平方得25sin²α-5sinα-12=0，
解得sinα=

4

5

或sinα=-

3

5

．
∵α∈[0，π]，∴sinα=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合題，既考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，又考查了學(xué)生會(huì)求三角函數(shù)的周期，會(huì)利用正弦函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的最值．要求學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)融匯貫穿、靈活運(yùn)用．