例3:已知函數(shù)y=sin4x-2acos2x+a2的最小值為1,求常數(shù)a可能取的值.
分析:根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系,可將原函數(shù)式化簡為y=(sin2x+a)2-2a,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),又有0≤sin2x≤1,對a分三種情況討論,依次分析,驗(yàn)證其最小值是否為1,可得答案.
解答:解:根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系,有cos
2x=1-sin
2x,
則y=sin
4x-2a(1-sin
2x)+a
2=sin
4x+2asin
2x+a
2-2a=(sin
2x+a)
2-2a,
又有0≤sin
2x≤1,
若-a<0,即a>0時(shí),
分析可得,當(dāng)sin
2x=0時(shí),y的最小值為a
2-2a,
根據(jù)題意,a
2-2a=1,解可得a=-1±
,
又有a>0,故舍去,
分析可得,當(dāng)sin
2x=1時(shí),y的最小值為a
2+1
根據(jù)題意,a
2+1=1,解可得a=0,
又有a<-1,故舍去,
若0≤-a≤1,即-1≤a≤0時(shí),
分析可得,當(dāng)sin
2x=-a時(shí),y的最小值為-2a,
根據(jù)題意,-2a=1,解可得a=-
,
綜合可得,a=-
.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的最值,尤其涉及二次函數(shù)時(shí),注意要對參數(shù)分情況討論.