Question

15．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜$\frac{2}{3}$，則f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-1，∞）∪（2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，則不等式f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$轉(zhuǎn)化為g（x）＜g（1），解得即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{2}{3}$，
∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜$\frac{2}{3}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上為減函數(shù)，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$，
∴f（x）-$\frac{2x}{3}$＜$\frac{4}{3}$，
∴g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故選：A

點(diǎn)評 本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，屬于中檔題．