Question

(本小題滿分12分)有對(duì)稱中心的曲線叫有心曲線，如圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線，過(guò)有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑，有心曲線有許多類(lèi)似的優(yōu)美性質(zhì)。

（1）定理：過(guò)圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的連線斜率之積為定值．試寫(xiě)出該定理在橢圓中的類(lèi)似結(jié)論；

（2）定理：圓的兩條互相垂直的直徑稱為共軛直徑，且這兩條共軛直徑與圓相交得到的四邊形的面積為定值．在橢圓中兩條斜率之積為的直徑稱為共軛直徑，試探究橢圓中兩條共軛直徑與橢圓相交得到的四邊形的面積的類(lèi)似結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

（2）依題意橢圓中有類(lèi)似定理：

橢圓的兩條直徑的斜率之積為時(shí)，稱為共軛直徑．特別地，當(dāng)一條直徑的斜率不存在，另一條直徑的斜率為零時(shí)也稱為共軛直徑．兩條共軛直徑與橢圓相交得到的四邊形的面積為定值2ab．    ………………………………………………………………8分

證明：①當(dāng)兩條共軛直徑為橢圓的長(zhǎng)短軸時(shí)，對(duì)應(yīng)的四邊形面積為2ab．……… 9分

②一般地，可設(shè)直徑AC的斜率為k，則共軛直徑BD的斜率為（k≠0），

設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

由  ，

，

同理可得 ，

D到直線AC的距離為，

∴S_{四邊形ABCD}＝|AC|·d＝為定值. ………12分