Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P (3， )且傾斜角為．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求直線l的一個參數(shù)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B，求的值.

（2）已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若正實數(shù)滿足，且對任意的正實數(shù)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（Ⅰ）直線l參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－)2＝5 （Ⅱ）|PA||PB|＝|t1t2|＝4（2）（Ⅰ）1（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)(Ⅰ)利用轉(zhuǎn)化關(guān)系可得直線l參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) ，圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－)2＝5．

(Ⅱ)聯(lián)立直線與圓的方程，利用t的幾何意義可得|PA||PB|＝|t1t2|＝4.

(2)(Ⅰ)將函數(shù)零點分段可得函數(shù)的最小值為1；

(Ⅱ)由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）直線l參數(shù)方程為 (t為參數(shù))

由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，

由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，
所以
又直線l過點P(3，)，

故由上式及t的幾何意義|PA||PB|＝|t1t2|＝4
（2）解：（Ⅰ）由已知得，

可知函數(shù)的最小值等于1.　

（Ⅱ）由（1）知，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

即

解得：