Question

3．已知C為AB為直徑的圓O上任意一點(diǎn)，且△SAC為等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC．
（1）求證：BC⊥SA；
（2）求二面角A-BC-S所成角的大��；
（3）若AC=2，SB=2$\sqrt{3}$，求直線SB與平面ABC所成角．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥平面SAC，由此能證明BC⊥SA．
（2）推導(dǎo)出SC⊥BC，AC⊥BC，則∠SCA是二面角A-BC-S的平面角，由此能求出二面角A-BC-S所成角的大小．
（3）取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、BD，推導(dǎo)出SD⊥平面ABC，則∠SBD是直線SB與平面ABC所成角，由此能求出直線SB與平面ABC所成角．

解答 證明：（1）∵C為AB為直徑的圓O上任意一點(diǎn)，
∴AC⊥BC，
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面SAC，
∵SA?平面SAC，
∴BC⊥SA．
解：（2）∵BC⊥平面SAC，
∴SC⊥BC，AC⊥BC，
∴∠SCA是二面角A-BC-S的平面角，
∵△SAC為等邊三角形，
∴∠SCA=60°，
∴二面角A-BC-S所成角的大小為60°．
（3）取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、BD，
∵△SAC為等邊三角形，平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SD⊥平面ABC，
∴∠SBD是直線SB與平面ABC所成角，
∵AC=2，SB=2$\sqrt{3}$，
∴SD=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴tan∠SBD=$\frac{SD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠SBD=arctan$\frac{1}{2}$．
∴直線SB與平面ABC所成角為arctan$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．