Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=e^x-e．利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）f′（x）=e^x-k，通過①k≤0時(shí)，②當(dāng)k＞0時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值即可．

解答 解：（1）由k=e 得f（x）=e^x-ex，所以f′（x）=e^x-e．
由f′（x）＞0 得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），
由f′（x）＜0 得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）．…4分
（2）f′（x）=e^x-k，
①k≤0時(shí)，f′（x）＞0 對(duì)x∈R恒成立，
所以此時(shí)f（x）在（-∞，+∞） 上單調(diào)遞增，無極值； …..…6分
②當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=e^x-k=0 得x=lnk．
當(dāng)x 變化時(shí)f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，lnk）	Lnk	（lnk，+∞）
f’（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

因此當(dāng)x=lnk時(shí)，f（x）取得極小值為k-klnk…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．