【題目】如圖甲,在等腰梯形中,,,是的中點.將沿折起,使二面角為,連接,得到四棱錐(如圖乙),為的中點,是棱上一點.
(1)求證:當(dāng)為的中點時,平面平面;
(2)是否存在一點,使平面與平面所成的銳二面角為,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在;
【解析】
(1)由題易證得,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,,則平面,由平行線的性質(zhì)可知平面,則,再利用可得,即可求證;
(2)由題以為原點,為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系,設(shè),,分別求得平面與平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解即可.
(1)證明:連接,,
由題,因為,為的中點,所以,
因為是的中點,所以,
又,所以四邊形是平行四邊形,所以,即,
所以,且,
又,所以平面,
因為,所以平面,
因為平面,所以,
又因為,為的中點,所以,
又,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)解:存在,
以為原點,為坐標(biāo)軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,如圖所示,
不妨設(shè)棱長,由(1)可知是等邊三角形,
則,,,,
設(shè),且,,
則,
可得,則,,
設(shè)是平面的一個法向量,
則,即,
令,則,
由(1)知平面,則是平面的一個法向量,
若存在點,使平面與平面所成的銳二面角為,
則,
解得,
所以存在點,使平面與平面所成的銳二面角為,此時.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)組,如果數(shù)組滿足,且,其中,則稱為的“兄弟數(shù)組”.
(1)寫出數(shù)組的“兄弟數(shù)組”;
(2)若的“兄弟數(shù)組”是,試證明:成等差數(shù)列;
(3)若為偶數(shù),且的“兄弟數(shù)組”是,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=lnx,若對任意的x1∈(0,+∞),存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高三年級不同性別的學(xué)生對體育課改上自習(xí)課的態(tài)度(肯定還是否定),進行了如下的調(diào)查研究.全年級共有名學(xué)生,男女生人數(shù)之比為,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生,每人被抽到的概率均為.
(1)求抽取的男學(xué)生人數(shù)和女學(xué)生人數(shù);
(2)通過對被抽取的學(xué)生的問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
否定 | 肯定 | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
總計 |
①完成列聯(lián)表;
②能否有的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)?
(3)若一班有名男生被抽到,其中人持否定態(tài)度,人持肯定態(tài)度;二班有名女生被抽到,其中人持否定態(tài)度,人持肯定態(tài)度.
現(xiàn)從這人中隨機抽取一男一女進一步詢問所持態(tài)度的原因,求其中恰有一人持肯定態(tài)度一人持否定態(tài)度的概率.
解答時可參考下面臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程
(2)設(shè)直線l與x軸交于點P,且與曲線C相交與A、B兩點,若是與的等比中項,求實數(shù)m的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況,其中點的橫坐標(biāo)表示服用第種藥后血藥濃度達峰(最高濃度)時間,其它點的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度首次降到峰值一半時所用的時間(單位:),點的縱坐標(biāo)表示第種藥的血藥濃度的峰值. 記為服用第種藥后達到血藥濃度峰值時,血藥濃度提高的平均速度,記為服用第種藥后血藥濃度從峰值首次降到峰值的一半所用的時間,則中最小的,中最大的分別是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值及此時點的直角坐標(biāo).
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