Question

在單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差數(shù)列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比數(shù)列，n=l，2，3，…．
(Ⅰ)分別計(jì)算a₃，a₅和a₄，a₆的值；
(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（將a_n用n表示）；
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，證明：，n∈N*。

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知得。
(Ⅱ)，，…
，…
∴猜想：，
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之。
①當(dāng)n=1時(shí)，，猜想成立；
②當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*）時(shí)，猜想成立，即，
那么
，

，
∴n=k+1時(shí)，猜想成立，
由①②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意n∈N*，猜想成立；
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，
顯然；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，



；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，



綜上所述，。