Question

已知雙曲線過點（3，-2），且與橢圓4x²+9y²=36有相同焦點，則雙曲線的標準方程為

x2

3

-

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：化橢圓方程為標準方程，求出橢圓的焦點，由此設(shè)出雙曲線的標準方程，把點（3，-2）代入方程，聯(lián)立a²+b²=c²即可求得a²，b²的值，則雙曲線的方程可求．

解答：解：由4x²+9y²=36，得

x2

9

+

y2

4

=1，則c²=9-4=5，所以c=

5

．
所以橢圓的焦點為F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)．
因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，所以可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
因為雙曲線過點（3，-2），所以

9

a2

-

4

b2

=1①
又a²+b²=5②，聯(lián)立①②，解得：a²=3或a²=15（舍），b²=2．
所以雙曲線的標準方程為

x2

3

-

y2

2

=1．
故答案為

x2

3

-

y2

2

=1．

點評：本題考查了圓錐曲線的共同特征，考查了利用代入法求圓錐曲線的方程，由焦點的位置設(shè)曲線標準方程是該題的關(guān)鍵，此題是中檔題．