Question

（2009•西城區(qū)一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，又AB=BC=PC=1， PB=

2

， CD=2， AB⊥PC．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面PAD的距離．

Answer 1

分析：（1）要證PC⊥平面ABCD可利用線面垂直的判定定理即證明PC與面ABCD內(nèi)的兩條相交直線垂直即可而根據(jù)題中的條件分析可知AB，BC即為要找的兩條相交直線．
（Ⅱ）法一：幾何法．可先利用題中條件作出過其中一平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于另一平面的垂線然后再根據(jù)三垂線定理即可作出二面角的平面角然后把這個(gè)角放在三角形內(nèi)求解即可．而根據(jù)題中的條件再結(jié)合（1）的結(jié)論可得BC⊥平面PCD故過C作CM⊥PD于M連接BM而CM是BM在平面PCD內(nèi)的射影根據(jù)三垂線定理可得BM⊥PD所以∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后在直角三角形BCM中求出∠CMB．
    法二：空間向量法．根據(jù)題中條件可得CD，CB，CA兩兩垂直故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系過C作CM⊥DP于M，連接BM利用

MC

⊥

DP

，

DM

，

DP

共線可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2

5

， 0， 

4

5

)從而可計(jì)算出

MB

•

DP

=

4

5

+0-

4

5

=0即MB⊥DP故∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后利用向量的夾角公式即可求出∠CMB的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h利用三棱錐B-PAD與三棱錐P-ABD的體積相等即可求出h．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵在△PBC中，BC=PC=1， PB=

2

∴BC²+PC²=PB²
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC
∵AB⊥PC
∵AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知PC⊥BC
又∵BC⊥CD，PC∩CD=C
∴BC⊥平面PCD
過C作CM⊥PD于M，連接BM
∴CM是BM在平面PCD內(nèi)的射影
∴BM⊥PD，
又∵CM⊥PD
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角．
在△PCD中，∠PCD=90°，PC=1，CD=2，∴PD=

PC2+CD2

=

5

又∵CM⊥PD∴PD•CM=PC•CD，∴CM=

PC•CD

PD

=

2 5

5

．
在△CMB中，∠BCM=90°，BC=1，CM=

2 5

5

∴tan∠CMB=

BC

CM

=

5

2

∴二面角B-PD-C的大小為arctan

5

2

．
方法二：如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)，CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，1），A（1，1，0）
過C作CM⊥DP于M，連接BM，設(shè)M（x，y，z）
則

MC

=(-x，-y，-z)， 

DM

=(x-2，y，z)， 

DP

=(-2，0，1)
∵

MC

⊥

DP

∴

MC

•

DP

=2x-z=0      
∵

DM

，

DP

共線
∴y=0， 

x-2

-2

=z
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)，解得x=

2

5

， y=0， z=

4

5

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2

5

， 0， 

4

5

)，

MB

=(-

2

5

， 1， -

4

5

)，

MC

=(-

2

5

， 0， -

4

5

)
∵

MB

•

DP

=

4

5

+0-

4

5

=0
∴MB⊥DP
又∵CM⊥DP
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角
∵

MC

=(-

2

5

， 0， -

4

5

)，

MB

=(-

2

5

， 1， -

4

5

)，∴cos∠CMB=

MB • MC

| MB |•| MC |

=

2

3

∴二面角B-PD-C的大小為arccos

2

3

．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h
∵AB⊥BC
∴AC=

AB2+BC2

=

2

∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥AC
∴PA=

AC2+PC2

=

3

在直角梯形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2
∴AD=

BC2+(CD-AB)2

=

2

在△PAD中，∵AD=

2

，PA=

3

， PD=

5

∴AD²+PA²=PD²
∴∠PAD=90°
∴△PAD的面積S△PAD=

1

2

AD•PA=

6

2

∵三棱錐B-PAD的體積V_B-PAD=V_P-ABD
∴

1

3

•S△PAD•h=

1

3

•S△ABD•PC，
即

6

2

×h=(

1

2

×1×1)×1，解得h=

6

6

∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為

6

6

．

點(diǎn)評：本題主要考察了線面垂直的證明，二面角的求解，點(diǎn)到面的距離的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是第一問要根據(jù)題中數(shù)據(jù)得出PC⊥BC而第二問可采用幾何法（關(guān)鍵是找到垂線然后利用三垂線定理即可做出二面角的平面角）也可采用空間向量的方法證明∠CMB為二面角B-PD-C的平面角，對于第三問中點(diǎn)到面的距離的求解常采用輪換三棱錐的頂點(diǎn)但體積不變即“等積法”求解！