已知拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為其焦點，

(1)若過焦點F且斜率為1的直線與拋物線C交于A、B兩點，求弦AB的長；

(2)若過點M(2，1)的一條直線交拋物線C于P、Q兩點，且PQ被M平分，求這條直線的方程；

(3)設(shè)點R、S是拋物線C上原點O以外的兩個動點，且OR⊥OS，若作ON⊥RS，垂足為N，求點N的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

答案：
解析：

　　解：(1)∵點F(1，0)，…………1分

　　∴直線AB的方程為y＝x－1，…………2分

　　將其代入得x2－6x＋1＝0…………3分

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)

　　∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6＋2＝8…………4分

　　(2)顯然直線PQ的斜率存在，設(shè)其為k，則PQ的方程為y－1＝k(x－2)，將其代入得k2x2－(4k2－2k＋4)x＋(1－2k)2＝0…………5分

　　則∵，…………6分

　　∴k＝2，而此時方程有根．∴直線方程為y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0……7分

　　(3)解：(1)設(shè)R(x1，y1)，S(x2，y2)，則y12＝2px1，y22＝2px2，

　　∴y12y22＝4p2x1x2，

　　∵OR^ OS，∴x1x2＋y1y2＝0，…………8分

　　由此即可解得：y1y2＝─16

　　∵直線AB的斜率k＝＝＝，

　　∴直線AB的方程為y─y1＝(x─)，

　　即y(y1＋y2)─y1y2＝4x，由(1)可得y＝(x─4)，

　　∴直線RS過定點M(4，0)．…………9分

　　又∵RS^ ON，知點N的軌跡是以原點和點(4，0)為直徑的圓(除去原點)．立即可求出方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)…………10分


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已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2，2)，過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若·＝0，則k＝

[　　]

A．

B．

C．

D．2

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已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F作C的兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M、N．

(Ⅰ)證明直線MN必過定點，并求出這點的坐標；

(Ⅱ)分別以AB、CD為直徑作圓，求兩圓相交弦的中點H的軌跡方程．

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如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ．

(Ⅰ)若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點，并求出定點的坐標；

(Ⅱ)假設(shè)直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數(shù)？如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山西省平遙縣高三4月質(zhì)檢理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝(　 　)

A.         B.           C．－       D．－

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

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