Question

已知點A（2，0），B（0，6），O為坐標原點．
（1）若點C在線段OB上，且∠ACB=

3π

4

，求△ABC的面積；
（2）若原點O關于直線AB的對稱點為D，延長BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直線L：ax+10y+84-108

3

=0經過點P，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）依據條件求出AC的斜率，可得點C的坐標，即得邊長BC，點A的橫坐標就是三角形的高，代入三角形的面積公式進行計算．
（2）利用對稱的特點，待定系數法求出原點O關于直線AB的對稱點D的坐標，由題意可得

PD

=2

DB

，把相關向量的坐標代入，利用兩個向量相等的條件求出點P的坐標，再把點P的坐標代入代入直線l的方程，求出a，即得直線l的斜率，由斜率求直線l的傾斜角．

解答：解：（1）∵點C在線段OB上，且∠ACB=

3π

4

，∴∠ACO=

π

4

，故AC的傾斜角為

3π

4

，
故AC的斜率為-1，設點C（0，b），由-1=

0-b

2-0

  得 b=2，即點C（0，2），
 BC=4，點A到BC的距離為2，故△ABC的面積為  

1

2

×4×2=4．
（2）設D（m，n），點P（c，d），AB的方程

x

2

+

y

6

=1，即  3x+y-6=0，
由

n m = -1 -3 = 1 3   3• m 2 + n 2 -6=0

  得 m=

18

5

，n=

6

5

，故D（

18

5

，

6

5

），

PD

=（

18

5

-c，

6

5

-d），

DB

=（-

18

5

，

24

5

），
由題意知，

PD

=2

DB

，
∴

18

5

-c=-

36

5

，

6

5

-d=

48

5

，解得 c=

54

5

，d=-

42

5

，
故P（

54

5

，-

42

5

），把P（

54

5

，-

42

5

）代入直線l：ax+10y+84-108

3

=0，
得 a•

54

5

+10•

-42

5

+84-108

3

=0，即得 a=10

3

．
∴直線l的斜率為

-a

10

=-

3

，故直線l的傾斜角為 120°．

點評：本題考查直線的傾斜角的定義，傾斜角與斜率的關系；點關于直線的對稱點的坐標求法，兩個向量相等時向量坐標間的關系．