Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且Sn=2n+a（n∈N^*）．
（1）求a的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知先求S₁=a₁=2+a≠0，然后利用n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1及{a_n}是等比數(shù)列，可求a及通項
（2）由（1）得bn=nan=n•2n-1，結(jié)合數(shù)列的項的特點，考慮利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）當n=1時，S₁=a₁=2+a≠0．…（1分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1．…（3分）
因為{a_n}是等比數(shù)列，
所以a1=2+a=21-1=1，即a₁=1．a(chǎn)=-1．…（5分）
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）得bn=nan=n•2n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
則Tn=1×1+2×2+3×22+4×23+…+n•2n-1．①
2Tn= 1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n．②
①-②得 -Tn=1×1+1×2+1×22+…+1×2n-1-n•2n…（9分）
=1+（2+2²+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1-2（1-2^n-1）-n•2ⁿ…（11分）
=-（n-1）•2ⁿ-1．…（12分）
所以Tn=(n-1)•2n+1．…（13分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式求解中的應(yīng)用及錯位相減求和方法的應(yīng)用．