如圖,P-ABCD是正四棱錐,PA=
3
,AB=2.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(2)求該四棱錐的體積.
分析:(1)證明AC⊥平面PBD,即可證明平面PAC⊥平面PBD;
(2)證明PO⊥平面ABCD,即可求該四棱錐的體積.
解答:(1)證明:設(shè)AC∩BD=O,連接PO…(1分),
因?yàn)镻-ABCD是正四棱錐,所以AC⊥BD,PO⊥AC…(3分),
因?yàn)镻O∩BD=O,所以AC⊥平面PBD…(5分),
因?yàn)锳C?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD…(7分)
(2)解:因?yàn)锳B=2,所以AO=
2
…(8分),
所以PO=
PA2-AO2
=1
…(9分),
因?yàn)镻-ABCD是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD…(10分)
所以,該四棱錐的體積V=
1
3
Sh=
1
3
×AB2×PO=
4
3
…(13分)(每個(gè)等號(hào)1分).
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直、面面垂直,考查四棱錐體積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6

(1)求證:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6
.平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角θ的余弦值為( 。
A、
10
10
B、
5
5
C、
15
5
D、
10
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6
,則B1到平面PAD的距離為
6
5
5
6
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P-ABCD是底面水平放置且△PAB在正面的正四棱錐,已知PA=
3
,AB=2.
(1)畫出這個(gè)正四棱錐的正視圖(或稱主視圖),并直接標(biāo)明正視圖各邊的長;
(2)求該四棱錐的體積.

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