如圖,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=
2
,CE=2
2
,CE∥AF,AC⊥CE,
ME
=2
FM

(I)求證:CM∥平面BDF;
(II)求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小;
(III)求二面角A-DF-B的大小.
分析:(I) 可知CD、CB、CE兩兩垂直.建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz.利用
CM
OF
平行證出CM∥OF,則可以證出CM∥平面BDF
(II) 利用
CM
, 
FD
的夾角求異面直線CM與FD所成角
(III)先求出平面ADF與平面BDF的一個(gè)法向量,利用兩法向量的夾角求出二面角A-DF-B的大。
解答:解:(I)證明:因?yàn)槊鍭BCD⊥面ACEF,面ABCD∩面ACEF=AC,且AC⊥CE,∴CE⊥面ABCD.
所以CD、CB、CE兩兩垂直.可建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
則(2,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),F(xiàn)(2,2,
2
),E(0,0,2
2
),O(1,1,0)…(2分)
ME
=2
FM
,可求得M(
4
3
,
4
3
,
4
3
2
)…(3分)
CM
=(
4
3
,
4
3
4
3
2
),
OF
=(1,1,
2
).
CM
=
4
3
OF

所以
CM
OF
,
∴CM∥OF…(5分)
(II)因?yàn)?span id="4gqasn9" class="MathJye">
CM
=(
4
3
4
3
,
4
3
2
),
FD
=(0,-2,-
2
),
所以cos<
CM
, 
FD
>=
CM
FD
|
CM
||
FD
|
=
6
3

異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小為
6
3
 …(8分)
(III)因?yàn)镃D⊥平面ADF,所以平面ADF的法向量
CD
=(2,0,0).
設(shè)平面BDF的法向量為
n
=(x,y,1)…(9分)
n
BD
=0
n
BF
=0
x-y=0
2x+
2
=0
⇒x=y=-
2
2

所以法向量
n
=(-
2
2
,
2
2
,1)…(10分)
所以
CD,
n
>=
CD
n
|
CD
||
n
|
=
-
2
2
=-
1
2

所以<
CD
,
n
=
3
,…(11分)
由圖可知二面角A-DF-B為銳角,
所以二面角A-DF-B大小為
π
3
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和平面平行的判定,異面直線夾角,二面角的計(jì)算,利用了空間向量的方法.要注意相關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性,及轉(zhuǎn)化時(shí)角的相等或互余關(guān)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
2
,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB,CD于M,N,則當(dāng)
MN
BN
最小時(shí),CN=
5
-1
2
5
-1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
2
,AF=1

(1)求二面角A-DF-B的大;
(2)在線段AC上找一點(diǎn)P,使PF與AD所成的角為60°,試確定點(diǎn)P的位置.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳二模)如圖,已知正方形ABCD在水平面上的正投影(投影線垂直于投影面)是四邊形A′B′C′D′,其中A與A'重合,且BB′<DD′<CC′.
(1)證明AD′∥平面BB′C′C,并指出四邊形AB′C′D′的形狀;
(2)如果四邊形中AB′C′D′中,AD′=
2
,AB′=
5
,正方形的邊長(zhǎng)為
6
,求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案