Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（$\frac{πx}{4}$-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{πx}{8}$+1．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期，并求出函數(shù)y=f（x）對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在 x∈[$\frac{2}{3}$，2]時(shí)的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出周期和對(duì)稱(chēng)中心；
（II）根據(jù)x的范圍求出$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{4}$x-cos$\frac{π}{4}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
故f（x）的最小正周期為T(mén)=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
令$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{4}{3}$+4k，k∈Z，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{4}{3}$+4k，0），k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng) x∈[$\frac{2}{3}$，2]時(shí)，$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴當(dāng)$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值$\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．