Question

在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y，記X=|x-2|+|y-x|．
（1）求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
（2）求隨機(jī)變量X的分布列和均值．
（3）在x≤2的條件下，求X≥4的概率．

Answer 1

分析：（1）首先計(jì)算出有放回地抽兩張卡片共有 16種情況，再由題意可得：|x-2|≤2，|y-x|≤3，即可得到X=|x-2|+|y-x|≤5，此時(shí)x=4，y=1進(jìn)而得到答案．
（2）由題意可得：X的所有取值為0，1，2，3，4，5，再結(jié)合題意分別求出其發(fā)生的總數(shù)，即可分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而求出x的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（3）有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y，并且滿足x≤2共有2×4=8種情況，再求出滿足X≥4的情況只有x=1，y=4進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）∵x，y可能的取值為1、2、3、4，
∴|x-2|≤2，|y-x|≤3，
∴X=|x-2|+|y-x|≤5，此時(shí)x=4，y=1
∴隨機(jī)變量X的最大值為5，
∵此抽取是有放回地抽兩張卡片，
∴所有情況有 4×4=16種，
∴P(X=5)=

1

16

．
答：隨機(jī)變量X的最大值為5，事件“X取得最大值”的概率為

1

16

．
（2）由題意可得：X的所有取值為0，1，2，3，4，5，
由題中條件可得：
X=0時(shí)，只有 x=2，y=2這一種情況，
X=1時(shí)，有 x=2，y=3或x=2，y=1或x=3，y=3或x=1，y=1，共有四種情況，
X=2時(shí)，有 x=2，y=4或x=4，y=4或x=3，y=4或x=3，y=2，或x=1，y=2共有五種情況，
X=3時(shí)，有 x=1，y=3或x=3，y=1或x=4，y=3，共有三種情況，
X=4時(shí)，有 x=1，y=4或x=4，y=2，共有兩種情況，
X=5時(shí)，此時(shí)x=4，y=1，
∴P（X=0）=

1

16

，P（ξ=1）=

4

16

=

1

4

，P（ξ=2）=

5

16

，P（X=3）=

3

16

，P（ξ=4）=

2

16

=

1

8

，P（ξ=5）=

1

16

，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

x	0	1	2	3	4	5
P	1 16	1 4	5 16	3 16	1 8	1 16

因此，X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

8

+5×

1

16

=

9

4

．
（3）有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y，并且滿足x≤2共有2×4=8種情況，
其中滿足X≥4的情況只有x=1，y=4，
所以在x≤2的條件下，求X≥4的概率為：

1

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率、分布列與數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是能夠正確求出分事件發(fā)生的概率，本題知識(shí)性較強(qiáng)，考查到了求概率，求分布列，求期望，是概率中一個(gè)典型題，題后要總結(jié)其解題脈絡(luò)．