Question

（本題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與曲線交于和。

①以線段為直徑的圓過(guò)能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若能求出此時(shí)的值，若不能說(shuō)明理由；

②求四邊形面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為的橢圓．

它的短半軸，

故曲線C的方程為．                                      ……4分

（2）①設(shè)直線,，

其坐標(biāo)滿足

消去并整理得，

故．                              ……6分

以線段為直徑的圓過(guò)能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即．

而，

于是，

化簡(jiǎn)得，所以．                              ……8分

②由①，，

將上式中的換為得，

由于,

故四邊形的面積為，        ……10分

令，則，

而，故，故，

當(dāng)直線或的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，另一個(gè)斜率為，

不難驗(yàn)證此時(shí)四邊形的面積為，

故四邊形面積的取值范圍是．                              ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、二次函數(shù)求最值和向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，弦長(zhǎng)公式是解題時(shí)經(jīng)常用到的公式，要熟練掌握，而且探究性問(wèn)題在高考中經(jīng)�？嫉�，先假設(shè)存在，再求解即可.