Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²，g（x）=ax²-4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象是否為中心對(duì)稱圖形，如果是，請(qǐng)寫出對(duì)稱中心；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意，利用函數(shù)極值的概及求解過程即可；
（II）由題意若對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)在定義域下的最值．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是（1，-2）

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，
可得x=0或x=2
f′（x），f（x）隨x變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值0，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值-4，
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），則F（x）=x³-（3+a）x²+4，
法一：F′（x）=3x²-2（3+a）x，由F′（x）=0，可得$x=0\;或\;x=\frac{2（3+a）}{3}$
①當(dāng)$\frac{2（3+a）}{3}≤0$，即a≤-3時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以，此時(shí)F（0）=4為最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）
②當(dāng)$\frac{2（3+a）}{3}＞0$，即a＞-3時(shí)，

x	0	$（0，\;\frac{2（3+a）}{3}）$	$\frac{2（3+a）}{3}$	$（\;\frac{2（3+a）}{3}，\;+∞）$
f′（x）	0	-	0	+
f（x）		減		增

所以，當(dāng)$x=\frac{2（3+a）}{3}$時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值，若要滿足f（x）≥g（x），則$F（\frac{2（3+a）}{3}）≥0$$F（\frac{2（3+a）}{3}）={[\frac{2（3+a）}{3}]^3}-（3+a）{[\frac{2（3+a）}{3}]^2}+4=-\frac{4}{27}{（3+a）^3}+4$
由$-\frac{4}{27}{（3+a）^3}+4≥0$，得a≤0，
所以-3＜a≤0，
由①②可得a的取值范圍是a≤0．
法二：由f（x）≥g（x），得$a≤x+\frac{4}{x^2}-3$，
令$G（x）≤x+\frac{4}{x^2}-3$${G^'}（x）≤1-\frac{8}{x^3}$，
由G′（x）=0，得x=2，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，G′（x）＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，G′（x）＜0，
所以，當(dāng)x=2時(shí)，G（x）在[0，+∞）上取得最小值，即G（2）=0
因?yàn)閍≤G（x），以a≤0
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，
其對(duì)稱中心是（1，-2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類討論得出思想方法等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題