Question

已知直線y=x+k與曲線x=

1-y2

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：曲線x=

1-y2

 表示一個(gè)半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)，分別求得k的值，再求出當(dāng)直線y=x+k和半圓相切時(shí)k的值，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答： 解：曲線x=

1-y2

，即 x²+y²=1 （x≥0），表示一個(gè)半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．
如圖，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，1=0+k，求得 k=1；
當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C時(shí)，0=1+k，求得 k=-1；
當(dāng)直線y=x+k和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得1=

|0-0+k|

2

，求得 k=-

2

，或 k=

2

（舍去），
故要求的實(shí)數(shù)k的范圍為[-1，1]∪{-

2

}，
故答案為：[-1，1]∪{-

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．