Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+

1

2

x+

1

4

(a為實數(shù)），若函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（-3，2]時函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)的值域與圖象的關(guān)系，得到對應(yīng)方程根的判別式為0，求出a值，得到f（x）的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸方程，結(jié)合定義區(qū)間，通過圖象特征得到函數(shù)的最值情況，求出函數(shù)f（x）在（-3，2]上的值域；（3）根據(jù)g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，得到函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，從而求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+

1

2

x+

1

4

(a為實數(shù)）的值域為[0，+∞），
∴對應(yīng)方程根的判別式為0，
即△=0，
(

1

2

)2-4×

1

4

×a=0，
∴a=

1

4

．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）∵函數(shù)f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為：x=-1．
當(dāng)x∈（-3，2]時，
[f（x）]_min=f（-1）=0，
[f（x）]_max=f（2）=

9

4

，
∴函數(shù)f（x）的值域為：[0，

9

4

]；
（3）∵f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f（x）-kx=

1

4

x2+（

1

2

-k）x+

1

4

，
∴函數(shù)g（x）的對稱軸方程為：x=2k-1．
∵當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，
∴2k-1≤-2或2k-1≥2，
∴k≤-

1

2

或k≥

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與圖象的關(guān)系，重點(diǎn)研究了二次函數(shù)的圖象，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．