已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點,N為弦AB的中點。
(1)求直線ON(O為坐標原點)的斜率KON ;
(2)對于橢圓C上任意一點M ,試證:總存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)
(2)見解析
(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因為,所以有,故有。從而橢圓C的方程可化為: ① ………2分
易知右焦點F的坐標為(),
據(jù)題意有AB所在的直線方程為: ② ………3分
由①,②有: ③
設(shè),弦AB的中點,由③及韋達定理有:
所以,即為所求。 ………5分
(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實數(shù),使得等式成立。設(shè),由1)中各點的坐標有:
,所以
。 ………7分
又點在橢圓C上,所以有整理為。 ④
由③有:。所以
⑤
又A﹑B在橢圓上,故有 ⑥
將⑤,⑥代入④可得:。 ………11分
對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數(shù),使等式成立,而
在直角坐標系中,取點P(),設(shè)以x軸正半軸為始邊,以射線OP為終邊的角為,顯然 。
也就是:對于橢圓C上任意一點M ,總存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(08年泉州一中適應(yīng)性練習文)(12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點,N為弦AB的中點。
(1)求直線ON(O為坐標原點)的斜率KON ;
(2)對于橢圓C上任意一點M ,試證:總存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(09年湖北重點中學4月月考理)(13分
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點,N為弦AB的
(1)求直線ON(O為坐標原點)的斜率KON ;
1) (2)對于橢圓C上任意一點M ,試證:總存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點,N為弦AB的中點。
(1)求直線ON(O為坐標原點)的斜率KON ;
(2)對于橢圓C上任意一點M ,試證:總存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆湖北省武漢市高三9月調(diào)研測試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l的斜率為1時,坐標原點O到l的距離為.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點P,使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有=+成立?若存在,求出所有的P的坐標與l的方程;若不存在,說明理由.
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