Question

已知橢圓C的中心在原點，左焦點為，離心率為．設直線l與橢圓C有且只有一個公共點P，記點P在第一象限時直線l與x軸、y軸的交點分別為A、B，且向量．
求：
（I）橢圓C的方程；
（II）的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的左焦點為，離心率為，建立方程，求得幾何量，即可確定橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用直線l與曲線C有且只有一個公共點，確定m，k之間的關系，利用，可得，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直線的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，∵左焦點為，離心率為，
∴，，
∴a=2，于是b²=1，由于焦點在x軸上，故橢圓C的方程為…（5分）
（Ⅱ）設直線l的方程為：y=kx+m（k＜0），
消去y得：…（7分）
∵直線l與曲線C有且只有一個公共點，∴△=4k²m²-（1+4k²）（m²-1）=0
即m²=4k²+1①…（9分）
∵
∴②…（11分）
將①式代入②得：
當且僅當時，等號成立，故，
此時直線方程為：．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查基本不等式，綜合性強．