分析 分別求出$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…,$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…,$\frac{1}{{(n+)}^{2}}$+$\frac{1}{{(n+1)}^{3}}$+$\frac{1}{{(n+1)}^{4}}$+…的極限,再代入∑n-1φ∑m-1φ$\frac{1}{{(n+1)}^{m+1}}$中,通過(guò)裂項(xiàng)法求得答案.
解答 解:$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{(n+1)}^{m+1}}}}}}$=$(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…)+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…)+…+(\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}+\frac{1}{{{{(n+1)}^3}}}+\frac{1}{{{{(n+1)}^4}}}+…)+…$
=$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}}{1-\frac{1}{3}}$+…+$\frac{\frac{1}{{(n+1)}^{2}}}{1-\frac{1}{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$
=(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)
=1-$\frac{1}{n+1}$,
當(dāng)n→+∞時(shí),$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{(n+1)}^{m+1}}}}}}$=1.
故答案為:$\sum_{n=1}^∞{\sum_{m=1}^∞{\frac{1}{{{{(n+1)}^{m+1}}}}}}$=1.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
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A. | -7 | B. | -8 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 空間中過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直 | |
B. | 僅存在一個(gè)實(shí)數(shù)b2,使得-9,b1,b2,b3,-1成等比數(shù)列 | |
C. | 存在實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,使得3a+3b的最小值是6 | |
D. | ?a∈(-4,0],ax2+ax-1<0恒成立 |
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