Question

6．設(shè)f（x）=cosx+（π-x）sinx，x∈[0，2π]，則函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)之和為2π．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=cosx+（π-x）sinx=0，
得cosx=（x-π）sinx，
當(dāng)x=π時(shí)，cosπ=0不成立，則x≠π，
當(dāng)cosx=0時(shí)，x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，此時(shí)，cosx=（x-π）sinx不成立，
∴cosx≠0，
即$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{1}{x-π}$，
即tanx═$\frac{1}{x-π}$，
分別作出函數(shù)y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$，在x∈[0，2π]上的圖象，
則由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于A（π，0）對(duì)稱，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=π，
則x₁+x₂=2π，
即函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)之和為2π，
故答案為：2π

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．