Question

（本小題滿分12分）
如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為
，為中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）平面
（Ⅱ）二面角的大小為
（Ⅲ）點(diǎn)到平面的距離為

解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．
為正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
連結(jié)，在正方形中，分別為
的中點(diǎn)，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．
，
為二面角的平面角．
在中，由等面積法可求得，
又，
．
所以二面角的大小為．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距離為．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．
由得，
．
點(diǎn)到平面的距離為．
解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．
為正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150417137361.gif" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．
，．
，，

令得為平面的一個(gè)法向量．
由（Ⅰ）知平面，
為平面的法向量．
，．
二面角的大小為．
（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，
．
點(diǎn)到平面的距離