【題目】一平面上有32個(gè)點(diǎn)，其中無三點(diǎn)共線．證明：在這32個(gè)點(diǎn)中至少能找到2135個(gè)四點(diǎn)組，形成凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．

【答案】見解析

【解析】

設(shè)．

因?yàn)?/span>個(gè)點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，所以，個(gè)點(diǎn)中以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)可作個(gè)三角形，

其中，面積最大者設(shè)為．

過點(diǎn)、、分別作對(duì)邊的平行線，相交得．

由于面積最大，故其余個(gè)點(diǎn)在內(nèi)．

又過其中任意兩點(diǎn)、的直線至多與的兩條邊相交，不妨設(shè)直線與邊不相交．則、、、是凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．

因此，個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)與點(diǎn)、、中某兩點(diǎn)可連出一個(gè)凸四邊形．

所以，至少有個(gè)四點(diǎn)組為凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中，、為、、中兩點(diǎn)，直線與邊不相交．

再考慮點(diǎn)和上述個(gè)點(diǎn)的集合，知至少有個(gè)滿足條件的四點(diǎn)組．

繼續(xù)討論下去，知個(gè)點(diǎn)中滿足條件的四點(diǎn)組至少有

．

將代入得．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的各棱長均為2， 面，E，F分別為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：直線BE∥平面；

（2）平面與直線AB交于點(diǎn)M，指出點(diǎn)M的位置，說明理由，并求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，線段PF1與y軸的交點(diǎn)M恰好是線段PF1的中點(diǎn)，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線的斜率與離心率分別是( )

A. ±1， B. 1， C. ±2， D. 2，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年寒假，因?yàn)?/span>“新冠”疫情全體學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，為了研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校隨機(jī)抽取名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為，抽取的學(xué)生中男生有人對(duì)線上教學(xué)滿意，女生中有名表示對(duì)線上教學(xué)不滿意.

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)線上教學(xué)是否滿意 與性別有關(guān)”；

態(tài)度

性別

滿意

不滿意

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

100

（2）從被調(diào)查的對(duì)線上教學(xué)滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取名學(xué)生，再在這名學(xué)生中抽取名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹，求其中抽取一名男生與一名女生的概率.

附：.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】低密度脂蛋白是一種運(yùn)載膽固醇進(jìn)入外周組織細(xì)胞的脂蛋白顆粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，當(dāng)?shù)兔芏戎鞍�，尤其是氧化修飾的低密度脂蛋白過量時(shí)，它攜帶的膽固醇便積存在動(dòng)脈壁上，久了容易引起動(dòng)脈硬化，因此低密度脂蛋白被稱為“壞的膽固醇”.為了調(diào)查某地中年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查該地100名中年人，得到2×2列聯(lián)表如下：

肥胖

不肥胖

總計(jì)

低密度脂蛋白不高于

12

63

75

低密度脂蛋白高于

8

17

25

總計(jì)

20

80

100

由此得出的正確結(jié)論是（ ）

A.有10%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

B.有10%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關(guān)”

C.有90%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

D.有90%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的直角坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤著濃洌的詩情每年六、七月份，我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南Q鎮(zhèn)年梅雨季節(jié)的降雨量單位：的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問題：

Ⅰ“梅實(shí)初黃暮雨深”假設(shè)每年的梅雨天氣相互獨(dú)立，求Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率；

Ⅱ“江南梅雨無限愁”在Q鎮(zhèn)承包了20畝土地種植楊梅的老李也在犯愁，他過去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量畝與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計(jì)表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤為元，請(qǐng)你幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大？需說明理由

降雨量

畝產(chǎn)量

500

700

600

400

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元，生產(chǎn)1件次品損失30元，甲、乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示.

甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

4

對(duì)應(yīng)的天數(shù)/天

40

20

20

10

10

乙每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

對(duì)應(yīng)的天數(shù)/天

30

25

25

20

（1）將甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)記為（單位：件），日利潤記為（單位：元），寫出與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）按這100天統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，分別求甲、乙兩名工人的平均日利潤.

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