【題目】設(shè)=(1+cos x,1+sin x),=(1,0),=(1,2).
(1)求證:(﹣)⊥(﹣);
(2)求||的最大值,并求此時(shí)x的值.
【答案】解:(1)由題意可得﹣=(cosx,1+sinx),
﹣=(cosx,sinx﹣1),
∴(﹣)(﹣)=cos2x+sin2x﹣1=0,
∴(﹣)⊥(﹣)
(2)由題意可得||2=(1+cosx)2+(1+sinx)2
=3+2(sinx+cosx)=3+2sin(x+),
由三角函數(shù)的值域可知,當(dāng)x+=2kπ+,
即x=2kπ+(k∈Z)時(shí),||2取最大值3+2,
此時(shí)||2取最大值=+1
【解析】(1)由題意可得﹣和﹣的坐標(biāo),計(jì)算其數(shù)量積為0即可;(2)由題意可得||2的不等式,由三角函數(shù)的值域可得||2的最大值,開方可得所求.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),則EF和AB所成的角為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)問:是否存在常數(shù),當(dāng)時(shí), 的值域?yàn)閰^(qū)間,且的長度為.(說明:對(duì)于區(qū)間,稱為區(qū)間長度)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (為常數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)當(dāng), 時(shí),對(duì)任意的都有成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對(duì)于任意的x都有f(1﹣x)+f(1+x)=0恒成立.如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組 , 那么m2+n2的取值范圍是( )
A.(3,7)
B.(9,25)
C.(13,49)
D.(9,49)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為2的正方形,,為上的點(diǎn),且平面.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=(cosx﹣sinx)sin(x+)﹣2asinx+b(a>0).
(1)若b=1,且對(duì)任意 , 恒有f(x)>0,求a的取值范圍;
(2)若f(x)的最大值為1,最小值為﹣4,求實(shí)數(shù)a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1, 在直角梯形中, , , , 為線段的中點(diǎn). 將沿折起,使平面 平面,得到幾何體,如圖2所示.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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