Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練的成績(jī)（環(huán)數(shù)），射擊次數(shù)為4次．
（I）試比較甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊水平的穩(wěn)定性；
（II）每次都從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選取一個(gè)進(jìn)行比對(duì)分析，共選取了3次（有放回選�。�．設(shè)選取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望．
（注：方差s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，其中

.

x

為x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由莖葉圖知：甲的射擊成績(jī)是6，7，9，10；乙的射擊成績(jī)是5，7，10，10．甲、乙的平均成績(jī)都是8環(huán)，再分別求出甲、乙的方差，由此進(jìn)行判斷能得到結(jié)果．
（Ⅱ）從甲、乙兩組成績(jī)中各隨機(jī)選取一個(gè)，要使甲的成績(jī)大于乙的成績(jī)，甲的成績(jī)大于乙的成績(jī)的概率為

3

8

．由題設(shè)條件知，ξ～B（3，

3

8

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由莖葉圖知：
甲的射擊成績(jī)是：6，7，9，10；乙的射擊成績(jī)是：5，7，10，10．
甲、乙的平均成績(jī)都是8環(huán)，
甲的方差S12=

1

4

[(6-8)2+(7-8)2+(9-8)2+（10-8）²]=

5

2

，
S22=

1

4

[(5-8)2+(7-8)2+(10-8)2+（10-8）²]=

9

2

，
∵S12＜ S22，
∴甲運(yùn)動(dòng)員的射擊水平穩(wěn)定．
（Ⅱ）從甲、乙兩組成績(jī)中各隨機(jī)選取一個(gè)，要使甲的成績(jī)大于乙的成績(jī)，
當(dāng)乙選取5環(huán)時(shí)，一定滿足要求，此時(shí)的概率p1=

1

4

，
當(dāng)乙選取7環(huán)時(shí)，甲只能從9環(huán)，10環(huán)中選取，此時(shí)的概率為p2=

1

4

×

2

4

=

1

8

，
所以，甲的成績(jī)大于乙的成績(jī)的概率為p=p1+p2=

1

4

+

1

8

=

3

8

，
由題設(shè)條件知，ξ～B（3，

3

8

），
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
p	125 512	225 512	135 512	27 512

∴Eξ=3×

3

8

=

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要注意莖葉圖、方差、概率等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．