Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對(duì)任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）
（Ⅱ）說明：請(qǐng)?jiān)冢╥）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計(jì)分
（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；
（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；
（Ⅲ）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x一定是Ω函數(shù)．

Answer 1

分析 （I）①利用Ω對(duì)于即可判斷出函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=-1，對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，可得存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．又f（x）是偶函數(shù)，可得Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（-x+T），通過換元進(jìn)而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．
（ii）同（i）可以證明．
（III）當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=a^x是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），可得Ta^x+T=a^x，化為：Ta^T=1，即a^T=$\frac{1}{T}$，此方程有非0 的實(shí)數(shù)根，即可證明．

解答 解：（I）①對(duì)于函數(shù)f（x）=x是Ω函數(shù)，假設(shè)存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時(shí)，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．
②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=-1，則sin（πx-π）=-sin（π-πx）=-sinπx．即-sin（π（x-1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數(shù)f（x）=sinπx對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（-x+T），
令x-T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（-t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．
（ii）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．
又f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴-Tf（x+T）=Tf（-x+T），T≠0，化為：-f（x+T）=f（-x+T），
令x-T=t，則x=T+t，∴-f（2T+t）=f（-t）=-f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．
（III）證明：當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=a^x是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），
∴Ta^x+T=a^x，化為：Ta^Ta^x=a^x，∵a^x＞0，∴Ta^T=1，即a^T=$\frac{1}{T}$，此方程有非0 的實(shí)數(shù)根，因此T≠0且存在，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x一定是Ω函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義、函數(shù)的奇偶性周期性、方程思想方法、換元方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．