Question

【題目】如圖，A、B兩地相距100公里，兩地政府為提升城市的抗疫能力，決定在A、B之間選址P點(diǎn)建造儲備倉庫，共享民生物資，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的中點(diǎn)C時，建造費(fèi)用為2000萬元，若點(diǎn)P在線段AC上（不含點(diǎn)A），則建造費(fèi)用與P、A之間的距離成反比，若點(diǎn)P在線段CB上（不含點(diǎn)B），則建造費(fèi)用與P、B之間的距離成反比，現(xiàn)假設(shè)P、A之間的距離為x千米，A地所需該物資每年的運(yùn)輸費(fèi)用為萬元，B地所需該物資每年的運(yùn)輸費(fèi)用為萬元，表示建造倉庫費(fèi)用，表示兩地物資每年的運(yùn)輸總費(fèi)用（單位:萬元）．

（1）求函數(shù)的解析式;

（2）若規(guī)劃倉庫使用的年限為，，求的最小值，并解釋其實際意義．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)，；當(dāng)，；（2），見解析

【解析】

（1）由題意，設(shè)f（x）＝，由f（50）＝2000，求得k1與k2的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）求出g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段寫出H（x），求導(dǎo)后再對n分類求解H（x）的最小值，并解釋其實際意義.

解：（1）由題意，設(shè)f（x）＝，

由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000.

∴f（x）＝；

（2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，

若0＜x≤50，則H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100，

若n∈N*且n≤20，則H（x）在（0，50]上單調(diào)遞減，H（x）min＝H（50）＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則H（x）在（0，100）上單調(diào)遞減，在（100，50）單調(diào)遞增，

∴；

若50＜x＜100，則H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上單調(diào)遞增，

若n∈N*且n≤20，則H（x）＞2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則H（x）＞50n+.

綜上，若n∈N*且n≤20，則H（x）min＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則.

實際意義：建造儲備倉庫并使用n年，花費(fèi)在建造倉庫和兩地物資運(yùn)輸總費(fèi)用的最小值.