Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上不同于長軸端點的任意一點，則△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 找出△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑與P點縱坐標的關(guān)系，要使△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑最大可得P點的縱坐標最大，由此求得△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑的最大值．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1，得a²=25，b²=16，∴c²=a²-b²=9，則c=3，
如圖，

∵${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|{y}_{P}|$=$\frac{1}{2}（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|+|{F}_{1}{F}_{2}|）•r$，
∴2c•|y_P|=（2a+2c）•r，則r=$\frac{3}{8}$|y_P|，
要使△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑最大，則需|y_P|最大，
∵|y_P|≤b=4，
∴△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑的最大值為$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．