Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)為${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，利用函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，得到$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，然后求解即可；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)g′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，
即$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需$1≥\frac{1}{a}$，
又因?yàn)閍＞0，所以a≥1；
（2）因?yàn)閤∈[0，+∞），所以${g^'}（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}≤0$
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．